확률분포에서 ;와|에 관한 notation 정리
;의 사용
; 함수에서 특정 변수를 고정시켜놓을때 사용할 수 있다. 다음과 같은 이변수함수를 생각해보자
\[f(x,y)\] 독립변수 x와 y를 갖는 함수이며 두 변수 모두에 대해서 미분가능하다. 여기서 변수 y가 어떤 어떤 값으로 고정된것이 알려지거나 또는 고정된상황을 가정한 후 x에 대해서만 관심이 있다고 해보자(미분,극한등을 아마도?취하고 싶다..아마도…) 이때는 이변수함수로 표기하는것이 아닌 일변수함수로 표기해야한다. 그때는 다음과 같이 표기하면 된다.
\[
f(x;y)
\]
이렇게 표기하면 y값은 이제 어떤 값으로 이미 설정(setting)되거나 고정(fixed)되어있음을 의미한다. 비슷하게 그냥 고정된 파라미터가 이 다음에도 올 수 있다. 베르누이분포의 확률질량함수는 다음과 같다.
\[f_X(x;p) = p^x(1-p)^{1-x}\]
setting,fixed된 파라미터인 p를 ;다음에 표시했다.
|의 사용
|는 given that,if이라는 의미이며 |의 다음에는 보통 먼저 깔고가거나 주어지는 전제,상황,조건,증거 등이 나온다. 확률,통계 분야에서만 쓰이며 조건부 확률이나,베이지안에서 많이 쓰이는 기호라고 한다. 중요한 점은 특히 |다음에 오는 상황,조건,증거와 같은 것들은 어떤 관점이냐에 따라서 상수나 확률변수의 관점으로 생각될 수 있다는 것이다. 특히 베이지안에서는 확률변수로 생각한다.
조건부 확률분포(조건부확률밀도함수,조건부 확률함수)는 다음과 같다.
\[
p_{X|Y}(x|y) = \frac{p_{XY}(x,y)}{p_Y(y)}\\
p_{X|Y}(y|x) = \frac{p_{XY}(x,y)}{p_X(x)}
\]
가장 윗식을 해석해보면 다음과 같다.
- 좌변 : 확률변수 Y가 주어진(given)상황에서 확률변수X의 확률(또는 확률밀도)를 나타내는 함수이며 시행으로부터 확률변수 X가 취할 수 있는 값 x를 입력으로 받는다. 조건부 확률분포에서 Y의 값은 y로 주어져 있다고 가정하므로 입력하는 변수가 아니다. 따라서 확률변수 Y는 변수가 아니라 모수(parameter)이다.
- 우변 : 조건부확률분포 공식.
## 결론 ; vs |
\[p_{\theta}(x) = p(x;\theta) = p(x|\theta)\]
;는 수학의 모든 분야에서 쓰이지만 |는 확률통계분야에서만 쓰인다. ;다음에는 이미 설정되거나 고정된 값이 나오며 |다음에는 먼저 주어지는 조건이 나온다. 근데 ;를 많이 쓰지 않고 |뒤에 그냥 고정된 값을 써버리는 경우가 많다. 이는 지양해야 할 표현이다.